Гіпотеза де Бройля. Хвилі де Бройля.
Як було сказано раніше, світло (і взагалі випромінювання) має подвійну природу: в одних явищах (інтерференція, дифракція та ін.) світло поводиться як хвилі, в інших явищах з не меншою переконливістю – як частинки. Це і спонукало де-Бройля (1923 р.) висловити ідею у тому, що матеріальні частки мають і хвильовими властивостями, тобто. поширити подібний корпускулярно-хвильовий дуалізм на частинки з масою спокою, відмінною від нуля.
Якщо з такою часткою пов'язана якась хвиля, очікується, що вона поширюється у напрямку швидкості υ частки. Про природу цієї хвилі нічого певного де Бройлем не було висловлено. Не будемо і ми поки що з'ясовуватимемо їхню природу, хоча відразу ж підкреслимо, що ці хвилі не електромагнітні. Вони мають, як побачимо далі, специфічну природу, котрій немає аналога у класичної фізики.
Отже, де Бройль висловив гіпотезу, що співвідношення для імпульсу p=ћω/c, Що стосується фотонів, має універсальний характер, тобто частинкам можна зіставити хвилю, довжина якої
Ця формула отримала назву формули де Бройля, а λ – дебройлівської довжини хвилічастинки з імпульсом р.
Де-Бройль також припустив, що пучок частинок, що падають на подвійну щілину, має за ними інтерферувати.
Другим, незалежним від формули (3.13.1) співвідношенням є зв'язок між енергією Ечастинки та частотою ω дебройлівської хвилі:
В принципі, енергія Евизначена завжди з точністю до додання довільної постійної (на відміну від Δ Е), отже, частота є принципово неспостережуваною величиною (на відміну від дебройлівської довжини хвилі).
З частотою і хвильовим числом kпов'язані дві швидкості - фазова υ ф та групова u:
(3.13.3)
Помноживши чисельник і знаменник обох виразів на ћ з урахуванням (3.13.1) та (3.13.2), отримаємо, обмежившись розглядом лише нерелятивістського випадку, тобто. вважаючи E = p 2 /2m(кінетична енергія):
(3.13.4)
Звідси видно, що групова швидкість дорівнює швидкості частинки, тобто є величиною, що принципово спостерігається, на відміну від υ ф ‑ через неоднозначність Е.
З першої формули (3.13.4) випливає, що фазова швидкість дебройлівських хвиль
(3.13.5)
тобто залежить від частоти ω, а значить дебройлівські хвилі мають дисперсієюнавіть у вакуумі. Далі буде показано, що відповідно до сучасної фізичної інтерпретації фазова швидкість дебройлівських хвиль має суто символічне значення, оскільки ця інтерпретація відносить їх до принципово неспостеріганих величин. Втім, сказане видно і відразу, оскільки Ев (3.13.5) визначено, як говорилося, з точністю до довільної постійної.
Встановлення того факту, що згідно (3.13.4) групова швидкість дебройлівських хвиль дорівнює швидкості частки, зіграло свого часу важливу роль у розвитку принципових основ квантової фізики, і насамперед у фізичній інтерпретації дебройлівських хвиль. Спочатку була зроблена спроба розглядати частинки як хвильові пакети дуже малої протяжності і таким чином вирішити парадокс двоїстості властивостей частинок. Однак подібна інтерпретація виявилася помилковою, оскільки всі складові пакети гармонійні хвилі поширюються з різними фазовими швидкостями. За наявності великої дисперсії, властивої дебройлівським хвиль навіть у вакуумі, хвильовий пакет «розпливається». Для часток з масою порядку маси електрона пакет розпливається практично миттєво, тоді як частка є стабільним утворенням.
Таким чином, подання частки у вигляді хвильового пакета виявилося неспроможним. Проблема двоїстості властивостей частинок вимагала іншого підходу до свого рішення.
Повернемося до гіпотези де Бройля. З'ясуємо, у яких явищах можуть виявитися хвильові властивості частинок, якщо вони, ці властивості, справді існують. Ми знаємо, що незалежно від фізичної природихвиль - це інтерференція та дифракція. Безпосередньо спостерігається в них є довжина хвилі. У всіх випадках дебройлівська довжина хвилі визначається формулою (3.13.1). Проведемо з допомогою неї деякі оцінки.
Насамперед переконаємося, що гіпотеза де-Бройля не суперечить поняттям макроскопічної фізики. Візьмемо як макроскопічний об'єкт, наприклад, порошинку, вважаючи, що її маса m= 1мг та швидкість V= 1 мкм/с. Відповідна їй дебройлівська довжина хвилі
(3.13.6)
Т. е. навіть у такого невеликого макроскопічного об'єкта як порошинка дебройлівська довжина хвилі виявляється незмірно менше розмірів самого об'єкта. У таких умовах ніякі хвильові властивості, звичайно, проявити себе не можуть в умовах доступних вимірювання розмірів.
Інша справа, наприклад, у електрона з кінетичною енергією Kта імпульсом . Його дебройлівська довжина хвилі
(3.13.7)
де Kмає бути виміряно в електрон-вольтах (еВ). При K= 150 еВ дебройлівська довжина хвилі електрона дорівнює згідно (3.13.7) λ = 0,1нм. Такий же порядок величини має постійна кристалічна решітка. Тому, аналогічно тому, як у разі рентгенівських променів, кристалічна структура може бути відповідними ґратами для отримання дифракції дебройлівських хвиль електронів. Однак гіпотеза де-Бройля була настільки нереальною, що досить довго не піддавалася експериментальній перевірці.
Експериментально гіпотеза де-Бройля була підтверджена у дослідах Девіссона та Джермера (1927р.). Ідея їхніх дослідів полягала в наступному. Якщо пучок електронів має хвильовими властивостями, можна очікувати, навіть не знаючи механізму відбиття цих хвиль, що й відбиття від кристала матиме такий самий інтерференційний характер, як і рентгенівських променів.
В одній серії дослідів Девіссона і Джермера для виявлення дифракційних максимумів (якщо такі є) вимірювалися напруга електронів, що прискорює, і одночасно положення детектора D(лічильника відбитих електронів). У досвіді використовувався монокристал нікелю (кубічної системи), сошліфований так, як показано на рис.3.13. Якщо його повернути навколо вертикальної осі Рис.3.13.1
Положення, що відповідає малюнку, то в цьому положенні
зішліфована поверхня покрита правильними рядами атомів, перпендикулярними до площини падіння (площини малюнка), відстань між якими d= 0,215 нм. Детектор переміщали у площині падіння, змінюючи кут θ. При вугіллі θ = 50 0 та прискорювальній напрузі V= 54B спостерігався особливо виразний максимум відбитих рис.3.13.2.
Цей максимум можна витлумачити як інтерференційний максимум першого порядку від плоскої дифракційної решітки із зазначеним вище періодом відповідно до формули.
Що видно з рис.3.13.3. На цьому малюнку кожна жирна точка є проекцією ланцюжка атомів, розташованих на прямій, перпендикулярній площині малюнка. Період dможе бути виміряний незалежно, наприклад, дифракції рентгенівських променів. Рис.3.13.3.
Обчислена за формулою (3.13.7) дебройлівська довжина хвилі для V= 54B дорівнює 0,167 нм. Відповідна довжина хвилі, знайдена з формули (3.13.8), дорівнює 0,165нм. Збіг настільки хороший, що отриманий результат слід визнати переконливим підтвердженням гіпотези де Бройля.
Іншими дослідами, що підтверджують гіпотезу де-Бройля, були досліди Томсона та Тартаковського . У цих дослідах пучок електронів пропускався через полікристалічну фольгу (за методом Дебая щодо дифракції рентгенівського випромінювання). Як і у разі рентгенівського випромінювання, на фотопластинці, розташованій за фольгою, спостерігалася система дифракційних кілець. Подібність обох картин вражає. Підозра, що система цих кілець породжується не електронами, а вторинним рентгенівським випромінюванням, що виникає внаслідок падіння електронів на фольгу, легко розсіюється, якщо шляху розсіяних електронів створити магнітне полі (піднести постійний магніт). Воно впливає рентгенівське випромінювання. Така перевірка показала, що інтерференційна картина відразу спотворювалася. Це однозначно свідчить, що маємо справу саме з електронами.
Г. Томсон здійснив досліди зі швидкими електронами (десятки кеВ), П.С. Тарковський – з порівняно повільними електронами (до 1,7 кеВ).
Для успішного спостереження дифракції хвиль на кристалах необхідно, щоб довжина хвилі цих хвиль була порівнянна з відстанями між вузлами кристалічних ґрат. Тому для спостереження дифракції важких частинок необхідно користуватися частинками досить малими швидкостями. Відповідні досліди щодо дифракції нейтронів і молекул при відображенні від кристалів були зроблені і також повністю підтвердили гіпотезу де-Бройля у застосуванні та до важких частинок.
Завдяки цьому експериментально доведено, що хвильові властивості є універсальним властивістю всіх частинок. Вони не обумовлені якимись особливостями внутрішньої будови тієї чи іншої частинки, а відбивають їхній загальний закон руху.
Описані вище досліди виконувалися з використанням пучків частинок. Тому виникає природне питання: хвильові властивості, що спостерігаються, виражають властивості пучка частинок або окремих частинок?
Щоб відповісти на це питання, В. Фабрикант, Л. Біберман і Н. Сушкін здійснили в 1949 р. досліди, в яких застосовувалися такі слабкі пучки електронів, що кожен електрон проходив через кристал свідомо поодинці, і кожен розсіяний електрон реєструвався фотопластинкою. При цьому виявилося, що окремі електрони потрапляли в різні точки фотопластинки абсолютно безладним на перший погляд (рис.3.13.4) а). Тим часом за досить тривалої експозиції на фотопластинці виникала дифракційна картина (рис.3.13.4 б), абсолютно ідентична картині дифракції від звичайного електронного пучка. Так було підтверджено, що хвильовими властивостями володіють і окремі частинки.
Таким чином, ми маємо справу з мікрооб'єктами, які мають одночасно як корпускулярні, так і хвиле-
ними властивостями. Це дозволяє нам надалі говорити
про електрони, але висновки, яких ми прийдемо, мають Рис.3.13.4.
загальний зміст і однаково застосовні до будь-яких частинок.
Парадоксальна поведінка мікрочастинок.
Розглянуті в попередньому параграфі експерименти змушують констатувати, що перед нами один із найзагадковіших парадоксів: що означає твердження «електрон - це одночасно частка та хвиля»?
Спробуємо розібратися у цьому питанні за допомогою уявного експерименту, аналогічного досвіду Юнга щодо вивчення інтерференції світла (фотонів) від двох щілин. Після проходження пучка електронів через дві щілини на екрані утворюється система максимумів і мінімумів, положення яких можна розрахувати за формулами хвильової оптики, якщо кожному електрону зіставити дебройлівську хвилю.
У явищі інтерференції від двох щілин таяться сама суть квантової теорії, тому приділимо цьому питанню особливу увагу.
Якщо ми маємо справу з фотонами, то парадокс (частка – хвиля) можна усунути, припустивши, що фотон через свою специфічність розщеплюється на дві частини (на щілинах), які потім інтерферують.
А електрони? Адже вони ніколи не розщеплюються - це встановлено достовірно. Електрон може пройти через щілину 1, або через щілину 2 (рис.3.13.5). Отже, розподіл на екрані Е має бути сумою розподілів 1 і 2 (рис.3.13.5 а) - воно показано пунктирною кривою. Рис.13.13.5.
Хоча логіка в цих міркуваннях є бездоганною, такий розподіл не здійснюється. Натомість ми спостерігаємо зовсім інший розподіл (рис.3.13.5 б).
Чи не є ця аварія чистої логіки і здорового глузду? Адже все виглядає так, якби 100 + 100 = 0 (у точці P). Справді, коли відкрита або щілина 1 або щілина 2, то в точку P приходить, скажімо, по 100 електронів на секунду, а якщо відкриті обидві щілини, то жодного!
Більше того, якщо спочатку відкрити щілину 1, а потім поступово відкривати щілину 2, збільшуючи її ширину, то за здоровим глуздом кількість електронів, що приходять в точку P щомиті, має зростати від 100 до 200. Насправді ж - від 100 до нуля.
Якщо таку процедуру повторити, реєструючи частки, наприклад, у точці O (див. рис.3.13.5 б), виникає не менш парадоксальний результат. У міру відкривання щілини 2 (при відкритій щілині 1) число частинок у точці O зростає не до 200 за секунду, як слід очікувати, а до 400!
Яквідкриття щілини 2 може вплинути на електрони, які, здавалося б, проходять через щілину 1? Т. е. справа так, що кожен електрон, проходячи через якусь щілину, «відчує» і сусідню щілину, коригуючи свою поведінку. Або подібно до хвилі проходить відразу через обидві щілини (!?). Адже інакше інтерференційна картина не може виникнути. Спроба все ж таки визначити, через яку щілину проходить той чи інший електрон, призводить до руйнування інтерференційної картини, але це вже зовсім інше питання.
Який висновок? Єдиний спосіб «пояснення», цих парадоксальних результатів полягає у створенні математичного формалізму, сумісного з отриманими результатами і завжди правильно прогнозує явища. Причому, очевидно, цей формалізм має бути внутрішньо несуперечливим.
І такий формалізм було створено. Він ставить у відповідність кожній частинці деяку комплексну псі-функцію Ψ( r, t). Формально вона має властивості класичних хвиль, тому її часто називають хвильовою функцією. Поведінка вільної рівномірно рухається у певному напрямку частинки описує плоска хвиля де-Бройля
Але більш докладно про цю функцію, її фізичний сенс і рівняння, яке керує її поведінкою в просторі та часі, йтиметься в наступній лекції.
Повертаючись до поведінки електронів під час проходження через дві щілини, ми маємо визнати: той факт, що в принципі не можна відповісти на питання, через яку щілину проходить електрон(Не руйнуючи інтерференційної картини), несумісний з уявленням про траєкторію. Таким чином, електронам, взагалі кажучи, не можна приписати траєкторії..
Однак за певних умов, а саме коли дебройлівська довжина хвилі мікрочастинки стає дуже малою і може виявитися набагато меншою, наприклад, відстані між щілинами або атомних розмірів, поняття траєкторії знову набуває сенсу. Розглянемо це питання докладніше і сформулюємо коректніше умови, у яких можна скористатися класичної теорією.
Принцип невизначеності
У класичній фізиці вичерпний опис стану частинки визначається динамічними параметрами, такими як координати, імпульс, момент імпульсу, енергія та ін. Однак реальна поведінка мікрочастинок показує, що існує принципова межа точності, з якою подібні змінні можуть бути вказані та виміряні.
Глибокий аналіз причин існування цієї межі, яку називають принципом невизначеності, Провів В. Гейзенберг (1927р.). Кількісні співвідношення, що виражають цей принцип у конкретних випадках, називають співвідношеннями невизначеностей.
Своєрідність властивостей мікрочастинок проявляється в тому, що не всім змінних виходять при вимірах певні значення.Існують пари величин, які можуть бути одночасно визначені точно.
Найважливішими є два співвідношення невизначеностей.
Перше обмежує точності одночасного виміру координат і відповідних проекцій імпульсу частки. Для проекції, наприклад, на вісь хвоно виглядає так:
Друге співвідношення встановлює невизначеність вимірювання енергії, Δ E, За даний проміжок часу Δ t:
Пояснимо зміст цих двох співвідношень. Перше з них стверджує, що якщо положення частинки, наприклад, по осі хвідомо з невизначеністю Δ x, то в той же момент проекцію імпульсу частинки на цю вісь можна виміряти тільки з невизначеністю Δ p= ћ/Δ x. Зауважимо, що ці обмеження не стосуються одночасного виміру координати частинки по одній осі та проекції імпульсу - по іншій: величини xі p y , yі p x і т. д. можуть одночасно мати точні значення.
Згідно з другим співвідношенням (3.13.11) для вимірювання енергії з похибкою Δ Епотрібен час, не менший, ніж Δ t=ћ /Δ E. Прикладом може бути «розмиття» енергетичних рівнів водневих систем (крім основного стану). Це з тим, що час життя переважають у всіх порушених станах цих систем порядку 10 -8 з. Розмиття ж рівнів призводить до розширення спектральних ліній (природне розширення), яке справді спостерігається. Сказане відноситься і до будь-якої нестабільної системи. Якщо час її життя до розпаду порядку τ, то через кінцівки цього часу енергія системи має непереборну невизначеність, не меншу, ніж Δ E≈ ћ/τ.
Вкажемо ще пари величин, які можуть бути одночасно точно визначені. Це будь-які дві проекції моменту імпульсу частки. Тому не існує стану, в якому всі три і навіть які-небудь дві з трьох проекцій моменту імпульсу мали певні значення.
Обговоримо докладніше зміст та можливості співвідношення Δ x·Δ p x ≥ ћ . Насамперед звернемо увагу на те, що воно визначає принципову межу невизначеностей Δ xта Δ p x , із якими стан частки можна характеризувати класично, тобто. координатою xта проекцією імпульсу p x. Чим точніше x, тим з меншою точністю, можна встановити p x, і навпаки.
Підкреслимо, що справжній сенс співвідношення (3.13.10) відбиває той факт, що в природі об'єктивно не існує станів частинки з точно визначеними значеннями обох змінних, xі pх. Разом про те ми змушені, оскільки виміри проводяться з допомогою макроскопічних приладів, приписувати часткам не властиві їм класичні змінні. Недоліки такого підходу і висловлюють співвідношення невизначеностей.
Після того, як з'ясувалась необхідність описувати поведінку частинок хвильовими функціями, співвідношення невизначеностей виникають природним чином – як математичне наслідок теорії.
Вважаючи співвідношення невизначеностей (3.13.10) універсальним, оцінимо, як воно позначилося на русі макроскопічного тіла. Візьмемо дуже маленьку кульку маси m= 1мг. Визначимо, наприклад, за допомогою мікроскопа його положення з похибкою Δ x≈ 10 -5 см (вона обумовлена роздільною здатністю мікроскопа). Тоді невизначеність швидкості кульки Δυ = Δ p/m≈ (ћ /Δ x)/m~ 10-19 см/с. Така величина недоступна жодному виміру, тому й відступ від класичного опису зовсім несуттєво. Іншими словами, навіть для такої маленької (але макроскопічної) кульки поняття траєкторії можна застосувати з високим ступенем точності.
Інакше поводиться електрон в атомі. Груба оцінка показує, що невизначеність швидкості електрона, що рухається боровською орбітою атома водню, можна порівняти з самою швидкістю: Δυ ≈ υ. При такому положенні уявлення про рух електрона по класичній орбіті втрачає сенс. І взагалі, при русі мікрочастинок у дуже малих областях простору поняття траєкторії виявляється неспроможним.
Разом з тим, за певних умов рух навіть мікрочастинок може розглядатися класично, тобто як рух траєкторією. Так відбувається, наприклад, під час руху заряджених частинок в електромагнітних полях (в електронно-променевих трубках, прискорювачах та ін.). Ці рухи можна розглядати класично, оскільки для них обмеження, зумовлені співвідношенням невизначеностей, дуже малі в порівнянні з самими величинами (координатами та імпульсом).
Досвід із щілиною. Співвідношення невизначеностей (3.13.10) проявляє себе за будь-якої спроби точного вимірювання положення або імпульсу мікрочастинки. І щоразу ми приходимо до «невтішного» результату: уточнення положення частки призводить до збільшення невизначеності імпульсу і навпаки. Як ілюстрацію такої ситуації розглянемо наступний приклад.
Спробуємо визначити координату xвільно рухається з імпульсом pчастинки, поставивши на її шляху перпендикулярно напрямку руху екран зі щілиною шириною b(Рис.3.13.6). До проходження частки через щілину її проекція імпульсу pх має точне значення: p x = 0. Це означає, що Δ p x = 0, але
Координата xчастинки є абсолютно невизначеною згідно (3.13.10): ми не можемо сказати, Рис.3.13.6.
чи пройде дана частка через щілину.
Якщо частка пройде крізь щілину, то в площині щілини координата xбуде зареєстровано з невизначеністю Δ x ≈ b. При цьому внаслідок дифракції з найбільшою ймовірністю частка рухатиметься в межах кута 2θ, де θ - кут, що відповідає першому дифракційному мінімуму. Він визначається умовою, за якої різниця ходу хвиль від обох країв щілини дорівнюватиме λ (це доводиться в хвильовій оптиці):
Внаслідок дифракції виникає невизначеність значення pх - проекції імпульсу, розкид якого
Враховуючи що b≈ Δ хі p= 2π ћ /λ., отримаємо з двох попередніх виразів:
що узгоджується по порядку величини (3.13.10).
Таким чином, спроба визначити координату xчастинки, справді, призвела до появи невизначеності Δ pу імпульсі частки.
Аналіз багатьох ситуацій, пов'язаних із вимірами, показує, що виміри в квантовій області принципово відрізняються від класичних вимірів. На відміну від останніх, у квантовій фізиці існує природна межа точності вимірів. Він у самій природі квантових об'єктів і може бути подолано ніяким вдосконаленням приладів і методів вимірів. Співвідношення (3.13.10) та встановлює одну з таких меж. Взаємодія між мікрочастинкою та макроскопічним вимірювальним приладом не можна зробити як завгодно малим. Вимірювання, наприклад координати частинки, неминуче призводить до принципово непереборного та неконтрольованого спотворення стану мікрочастинки, а значить і до невизначеності у значенні імпульсу.
Деякі висновки.
Співвідношення невизначеностей (3.13.10) одна із фундаментальних положень квантової теорії. Одного цього співвідношення достатньо, щоб отримати низку важливих результатів, зокрема:
1. Неможливий стан, у якому частка перебувала б у стані спокою.
2. При розгляді руху квантового об'єкта необхідно у багатьох випадках відмовитися від поняття класичної траєкторії.
3. Часто втрачає сенс розподіл повної енергії Eчастинки (як квантового об'єкта) на потенційну Uта кінетичну K. Справді, перша, тобто. Uзалежить від координат, а друга - від імпульсу. Ці ж динамічні змінні що неспроможні мати одночасно певного значення.
4.4.1. Гіпотеза де Бройля
Важливим етапом у створенні квантової механіки стало виявлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості була спочатку висловлена як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем.
У фізиці протягом багатьох років панувала теорія, за якою світло є електромагнітна хвиля. Однак після робіт Планка ( теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та інших стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.
Щоб пояснити деякі фізичні явища, слід розглядати світло як потік частинок-фотонів. Корпускулярні властивості світла не заперечують, а доповнюють його хвильові властивості.
Отже, фотон-елементарна частка світла, що має хвильові властивості.
Формула для імпульсу фотона
| . | (4.4.3) |
За де Бройлем, рух частинки, наприклад, електрона, подібно до хвильового процесу з довжиною хвилі λ , що визначається формулою (4.4.3). Ці хвилі називають хвилями де Бройля. Отже, частинки (електрони, нейтрони, протони, іони, атоми, молекули) можуть проявляти дифракційні властивості.
К.Девіссон та Л.Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю.
Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?
Досліди по дифракції пучків електронів дуже малої інтенсивності, тобто окремих частинок, показали, що при цьому електрон не "розмазується" по різних напрямках, а поводиться як ціла частка. Однак ймовірність відхилення електрона за окремими напрямками внаслідок взаємодії з об'єктом дифракції різна. Найбільш ймовірно попадання електронів у ті місця, які за розрахунком відповідають максимумам дифракції, менш ймовірне їх попадання в місця мінімумів. Отже, хвильові властивості притаманні як колективу електронів, а й кожному електрону окремо.
4.4.2. Хвильова функція та її фізичний сенс
Так як з мікрочастинкою зіставляють хвильовий процес, що відповідає її руху, то стан частинок у квантовій механіці описується хвильовою функцією, яка залежить від координат і часу: .
Якщо силове поле, що діє на частинку, є стаціонарним, тобто не залежить від часу, то ψ-функцію можна представити у вигляді добутку двох співмножників, один з яких залежить від часу, а інший від координат:
Звідси випливає фізичний зміст хвильової функції:
4.4.3. Співвідношення невизначеностей
Одним із важливих положень квантової механіки є співвідношення невизначеностей, запропоновані В.Гейзенбергом.
Нехай одночасно вимірюють положення та імпульс частинки, при цьому неточності у визначеннях абсциси та проекції імпульсу на вісь абсцис рівні відповідно Δx та Δр x .
У класичній фізиці немає жодних обмежень, що забороняють з будь-яким ступенем точності одночасно виміряти як одну, так і іншу величину, тобто Δx→0 і Δрx→0.
У квантовій механіці положення принципово інше: Δx і Δр x , що відповідають одночасному визначенню x і р x пов'язані залежністю
Формули (4.4.8), (4.4.9) називають співвідношеннями невизначеностей.
Пояснимо їх одним модельним експериментом.
При вивченні явища дифракції було звернено увагу, що зменшення ширини щілини при дифракції призводить до збільшення ширини центрального максимуму. Аналогічне явище буде при дифракції електронів на щілини в модельному досвіді. Зменшення ширини щілини означає зменшення x (рис. 4.4.1), це призводить до більшого "розмазування" пучка електронів, тобто до більшої невизначеності імпульсу і швидкості частинок.
Мал. 4.4.1.Пояснення до співвідношення невизначеності.
Співвідношення невизначеностей можна подати у вигляді
| , | (4.4.10) |
де ΔE – невизначеність енергії деякого стану системи; Δt -проміжок часу, протягом якого воно існує. Співвідношення (4.4.10) означає, що менше часу існування будь-якого стану системи, тим більше невизначено його значення енергії. Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину (рис.4.4.2)), що залежить від часу перебування системи у стані, що відповідає цьому рівню.
Мал. 4.4.2.Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину.
"Розмитість" рівнів призводить до невизначеності енергії ΔE випромінюваного фотона та його частоти Δν при переході системи з одного енергетичного рівня на інший:
,
де m-маса частинки; ; Е і Е n -її повна та потенційна енергії (потенційна енергія визначається силовим полем, в якому знаходиться частка, і для стаціонарного випадку не залежить від часу)
Якщо частинка переміщається лише вздовж деякої лінії, наприклад, уздовж осі ОХ (одномірний випадок), то рівняння Шредінгера істотно спрощується і набуває вигляду
 | (4.4.13) |
Одним із найпростіших прикладів на використання рівняння Шредінгера є вирішення задачі про рух частинки в одновимірній потенційній ямі.
4.4.5. Застосування рівняння Шредінгера до атома водню. Квантові числа
Опис станів атомів та молекул за допомогою рівняння Шредінгера є досить складним завданням. Найбільш просто вона вирішується для одного електрона, що знаходиться в полі ядра. Такі системи відповідають атому водню та водневим іонам (одноразово іонізований атом гелію, дворазово іонізований атом літію тощо). Однак і в цьому випадку вирішення завдання є складним, тому обмежимося лише якісним викладом питання.
Насамперед у рівняння Шредінгера (4.4.12) слід підставити потенційну енергію, яка для двох взаємодіючих точкових зарядів - e (електрон) і Ze (ядро), що знаходяться на відстані r у вакуумі, виражається таким чином:
Цей вислів є рішенням рівняння Шредінгера та повністю збігається з відповідною формулою теорії Бора (4.2.30)
На рис.4.4.3 показані рівні можливих значень повної енергії атома водню (Е1, Е2, Е3 і т.д.) та графік залежності потенційної енергії Еn від відстані r між електроном та ядром. Зі зростанням головного квантового числа n збільшується r (див.4.2.26), а повна (4.4.15) та потенційна енергії прагнуть нуля. Кінетична енергія також прагне нуля. Заштрихована область (Е>0) відповідає стану вільного електрона.
Мал. 4.4.3. Показано рівні можливих значень повної енергії атома водню
та графік залежності потенційної енергії від відстані r між електроном та ядром.
Друге квантове число - орбітальне l, яке при даному n може набувати значення 0, 1, 2, …., n-1. Це число характеризує орбітальний момент імпульсу L i електрона щодо ядра:
Четверте квантове число - спинове m s. Воно може набувати лише двох значень (±1/2) і характеризує можливі значення проекції спина електрона:
| .(4.4.18) |
Стан електрона в атомі із заданими n та l позначають наступним чином: 1s, 2s, 2p, 3s і т.д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а літера - орбітальне квантове число: символам s, p, d, f відповідають значення l = 0, 1, 2. 3 і т.д.
Світло має як хвильові, так і корпускулярні властивості. Хвильові властивості проявляються під час поширення світла (інтерференція, дифракція). Корпускулярні властивості виявляються при взаємодії світла з речовиною (фотоефект, випромінювання та поглинання світла атомами).
Властивості фотона як частинки (енергія Е та імпульс p) пов'язані з його хвильовими властивостями (частотою і довжиною хвилі λ) співвідношеннями
; , (19)
де h = 6,63 10 -34 Дж - постійна Планка.
Намагаючись подолати труднощі боровської моделі атома, французький фізик Луї де Бройль в 1924 р. висунув гіпотезу, що поєднання хвильових і корпускулярних властивостей властиве як світлу, а й будь-якому матеріальному тілу. Тобто частинки речовини (наприклад, електрони) мають хвильові властивості. висловив припущення, Згідно з де Бройлем кожному тілу масою m, що рухається зі швидкістю υ, відповідає хвильовий процес з довжиною хвилі
Найбільш яскраво хвильові властивості проявляються у мікрооб'єктів (елементарних частинок). Внаслідок малої маси довжина хвилі де Бройля виявляється порівнянною з міжатомною відстанню в кристалах. У цих умовах при взаємодії пучка частинок із кристалічними ґратами виникають дифракційні явища. Електронам з енергією 150 еВвідповідає довжина хвилі λ»10 -10 м. Такого ж порядку є міжатомні відстані в кристалах. Якщо пучок таких електронів направити на кристал, то вони будуть розсіюватись за законами дифракції. Зафіксована на фотоплівці дифракційна картина (електронограма) містить інформацію про будову тривимірних кристалічних ґрат.
Малюнок 6 Ілюстрація хвильових властивостей речовини
Для ілюстрації хвильових властивостей частинок часто використовують уявний експеримент - проходження пучка електронів (чи інших частинок) через щілину шириною Δх. З погляду хвильової теорії після дифракції на щілини пучок буде поширюватися з кутової розбіжністю θ»λ/Δх. З корпускулярної погляду розширення пучка після проходження щілини пояснюється появою в частинок деякого поперечного імпульсу. Розкид значень цього поперечного імпульсу ("невизначеність") є
(21)
Співвідношення (22)
зветься співвідношення невизначеностей. Це співвідношення корпускулярною мовою відбиває наявність хвильових властивостей у частинок.
Експеримент з проходження пучка електронів через дві близько розташовані щілини може бути ще яскравішою ілюстрацією хвильових властивостей частинок. Цей експеримент є аналогом оптичного інтерференційного досвіду Юнг.
4. 10 Квантова модель атомаЕкспериментальні факти (дифракція електронів, ефект Комптону, фотоефект та багато інших) та теоретичні моделі, на кшталт борівської моделі атома, з певністю свідчать, що закони класичної фізики стають непридатними для опису поведінки атомів та молекул та їх взаємодії зі світлом. Протягом десятиліття між 1920-м та 1930-м pp. низка видатних фізиків ХХ ст. (де Бройль, Гейзенберг, Борн, Шредінгер, Бор, Паулі та ін.) займався побудовою теорії, яка б адекватно описати явища мікросвіту. В результаті народилася квантова механіка, що стала основою всіх сучасних теорій будови речовини, можна сказати, основою (разом із теорією відносності) фізики ХХ ст.
Закони квантової механіки застосовні в мікросвіті, в той же час ми з вами є макроскопічними об'єктами і живемо в макросвіті, який керує зовсім іншими, класичними законами. Тому не дивно, що багато положень квантової механіки не можуть бути перевірені нами безпосередньо і сприймаються як дивні, неможливі, незвичні. Тим не менш, квантова механіка є, напевно, найбільш підтвердженою на досвіді теорією, оскільки наслідки розрахунків, виконаних за законами цієї теорії, використовуються практично у всьому, що нас оточує, і стали частиною людської цивілізації (досить згадати про ті напівпровідникові елементи, робота яких зараз дозволяють читачеві бачити текст на екрані монітора, покриття якого, до речі, також розраховане за допомогою квантової механіки).
На жаль, використовується квантової механікою математичний апарат досить складний і ідеї квантової механіки можуть бути викладені лише словесно і тому недостатньо переконливо. З урахуванням цього зауваження спробуємо дати хоч якесь уявлення про ці ідеї.
Основним поняттям квантової механіки є поняття квантового стану якогось мікрооб'єкта, або мікросистеми (це може бути окрема частка, атом, молекула, сукупність атомів тощо).
Квантова модель атомавідрізняється від планетарної насамперед тим, що у ній електрон немає точно певної координати і швидкості, тому безглуздо говорити про траєкторії його руху. Можна визначити (і намалювати) лише межі області його переважного руху (орбіталі).
Стан якогось мікрооб'єкта або мікросистеми (це може бути окрема частка, атом, молекула, сукупність атомів тощо) може бути охарактеризовано завданням квантових чисел: значень енергії, імпульсу, моменту імпульсу, проекції цього моменту імпульсу на якусь вісь, заряду тощо.
РІВНЯННЯ ШРЕДИНГЕРАдля руху електрона у кулонівському полі ядра атома водню використовується для аналізу квантової моделі атома. В результаті розв'язання цього рівняння виходить хвильова функція, яка залежить не тільки від координати і часу t, а й від 4-х параметрів, що мають дискретний набір значень і називають квантовими числами. Вони мають назви: головне, азимутальне, магнітне та магнітне спинове.
Головне квантове число nможе набувати цілочисельних значень 1, 2, ... . Воно визначає величину енергії електрона в атомі
Де Е i – енергія іонізації атома водню (13,6 еВ).
АЗІМУТАЛЬНЕ (ОРБІТАЛЬНЕ) квантове число l
визначає модуль моменту імпульсу електрона за його орбітальному русі 
(24)
де s – спинове квантове число, яке в кожній частинці має лише одне значення. Наприклад, для електрона s = (аналогічно для протона і нейтрона). Для фотона s=1.
Вироджениминазиваються стани електрона з однаковою енергією.
КАРТНІСТЬ ВИРОДЖЕННЯдорівнює кількості станів з однією і тією ж енергією.
КОРОТКАзапис стану електрона в атомі: ЦИФРА, що дорівнює головному квантовому числу, і буква, що визначає азимутальне квантове число:
Таблиця 1 Короткий запис стану електрона в атомі
ННА ОБОЛОНКА АТОМА ХІМІЧНОГО ЕЛЕМЕНТУ
§ 1. ВИХІДНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ
Теорія будови атома полягає в законах, описують рух мікрочастинок (електронів, атомів, молекул) та його систем (наприклад, кристалів). Маси та розміри мікрочастинок надзвичайно малі порівняно з масами та розмірами макроскопічних тіл. Тому властивості та закономірності руху окремої мікрочастинки якісно відрізняються від властивостей та закономірностей руху макроскопічного тіла, що вивчаються класичною фізикою. Рух та взаємодії мікрочастинок описує квантова (або хвильова) механіки. Вона ґрунтується на уявленні про квантування енергії, хвильовий характер руху мікрочастинок та ймовірнісний (статистичний) метод опису мікрооб'єктів.
Квантовий характер випромінювання та поглинання енергії. Приблизно на початку XX ст. дослідження ряду явищ (випромінювань розпечених тіл, фотоефект, атомні спектри) привели до висновку, що енергія поширюється і передається, поглинається і випромінюється не безперервно, а дискретно, окремими порціями - квантами. Енергія системи мікрочастинок також може набувати лише певних значень, які є кратними числами квантів.
Припущення про квантову енергію вперше було висловлено М. Планком (1900) і пізніше обґрунтовано А. Ейнштейном (1905). Енергія кванта? залежить від частоти випромінювання v:
де h - постійна Планка)