Scienze matematiche e loro metamorfosi. Discipline matematiche

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Libri

• Sezioni speciali di matematica. Workshop, V. A. Kramar, V. A. Karapetyan, V. V. Alchakov. Sono considerate le sezioni speciali di matematica, che vengono utilizzate nello studio di una serie di discipline specialistiche nella direzione della gestione nei sistemi tecnici. Il principale ...
• Sezioni probabilistiche di matematica: libro di testo per scapoli di direzioni tecniche (sotto la direzione generale di Maksimov Yu. D.), Amosova NN, Kuklin BA, Makarova S.B. e così via.. …

Matematica - la scienza delle strutture, dell'ordine e delle relazioni, che storicamente si è sviluppata sulla base di operazioni di conteggio, misurazione e descrizione della forma degli oggetti. Gli oggetti matematici vengono creati idealizzando le proprietà di oggetti matematici reali o di altro tipo e scrivendo queste proprietà in un linguaggio formale. La matematica non appartiene alle scienze naturali, ma in esse trova largo impiego sia per la precisa formulazione del loro contenuto sia per l'ottenimento di nuovi risultati. La matematica è una scienza fondamentale che fornisce mezzi linguistici (generali) ad altre scienze; in tal modo, rivela la loro relazione strutturale e contribuisce a trovare le leggi più generali della natura.

Storia della matematica.

L'accademico A.N. Kolmogorov ha proposto la seguente struttura per la storia della matematica:

1. Il periodo della nascita della matematica, durante il quale è stata accumulata una quantità abbastanza grande di materiale fattuale;

2. Il periodo della matematica elementare, a partire dai secoli VI-V aC. e. che termina alla fine del XVI secolo (“Il bagaglio di concetti di cui la matematica si è occupata fino all'inizio del XVII secolo costituisce ancora la base della“ matematica elementare ”insegnata nelle scuole primarie e secondarie”);

3. Il periodo della matematica delle quantità variabili, che copre i secoli XVII-XVIII, "che può essere convenzionalmente chiamato il periodo della" matematica superiore "";

4. Il periodo della matematica moderna - matematica dei secoli XIX-XX, durante il quale i matematici dovevano "trattare consapevolmente il processo di espansione del soggetto della ricerca matematica, ponendosi il compito di studio sistematico da un punto di vista abbastanza generale di possibili tipi di relazioni quantitative e forme spaziali.

Lo sviluppo della matematica iniziò nello stesso momento in cui l'uomo iniziò a usare astrazioni di qualsiasi livello superiore. Una semplice astrazione sono i numeri; la comprensione del fatto che due mele e due arance, nonostante tutte le loro differenze, hanno qualcosa in comune, vale a dire che occupano entrambe le mani di una persona, è un risultato qualitativo del pensiero umano. Oltre al fatto che gli antichi hanno imparato a contare gli oggetti concreti, hanno anche capito come calcolare quantità astratte, come il tempo: giorni, stagioni, anni. Dal conteggio elementare iniziò naturalmente a svilupparsi l'aritmetica: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di numeri.

Lo sviluppo della matematica si basa sulla scrittura e sulla capacità di scrivere numeri. Probabilmente, gli antichi prima esprimevano la quantità tracciando delle linee sul terreno o graffiandole sul legno. Gli antichi Incas, non avendo altro sistema di scrittura, rappresentavano e memorizzavano dati numerici utilizzando un complesso sistema di nodi di corda, il cosiddetto kipu. C'erano molti diversi sistemi numerici. Le prime registrazioni note di numeri sono state trovate nel papiro Ahmes creato dagli egiziani nel Regno di Mezzo. La civiltà Inca ha sviluppato il moderno sistema di numeri decimali, incorporando il concetto di zero.

Storicamente, le principali discipline matematiche sono emerse sotto l'influenza della necessità di condurre calcoli in ambito commerciale, nella misura delle terre e per la previsione di fenomeni astronomici e, successivamente, per la risoluzione di nuovi problemi fisici. Ognuna di queste aree gioca un ruolo importante nel più ampio sviluppo della matematica, che consiste nello studio di strutture, spazi e cambiamenti.

La matematica studia oggetti immaginari e ideali e le relazioni tra loro usando un linguaggio formale. In generale, concetti e teoremi matematici non corrispondono necessariamente a nulla nel mondo fisico. Il compito principale della sezione applicata della matematica è creare un modello matematico sufficientemente adeguato all'oggetto reale in studio. Il compito del matematico teorico è fornire una serie sufficiente di mezzi convenienti per raggiungere questo obiettivo.

Il contenuto della matematica può essere definito come un sistema di modelli matematici e strumenti per crearli. Il modello di un oggetto non tiene conto di tutte le sue caratteristiche, ma solo di quelle più necessarie ai fini dello studio (idealizzato). Ad esempio, studiando le proprietà fisiche di un'arancia, possiamo astrarre dal suo colore e sapore e immaginarlo (anche se non perfettamente accuratamente) come una palla. Se dobbiamo capire quante arance risulteranno se sommiamo due e tre insieme, allora possiamo astrarre dalla forma, lasciando al modello una sola caratteristica: la quantità. L'astrazione e la creazione di connessioni tra oggetti nella forma più generale è una delle principali direzioni della creatività matematica.

Considera il ruolo della matematica in chimica, medicina e scacchi.

Il ruolo della matematica nella chimica

La chimica utilizza ampiamente per i propri scopi i risultati di altre scienze, principalmente fisica e matematica.

I chimici di solito definiscono la matematica in modo semplicistico, come la scienza dei numeri. I numeri esprimono molte proprietà delle sostanze e caratteristiche delle reazioni chimiche. Per descrivere sostanze e reazioni, vengono utilizzate teorie fisiche, in cui il ruolo della matematica è così grande che a volte è difficile capire dove si trova la fisica e dove si trova la matematica. Da ciò ne consegue che la chimica è impensabile senza la matematica.

Per i chimici, la matematica è, prima di tutto, uno strumento utile per risolvere molti problemi chimici. È molto difficile trovare una branca della matematica che non sia affatto usata in chimica. L'analisi funzionale e la teoria dei gruppi sono ampiamente utilizzate nella chimica quantistica, la teoria della probabilità è la base della termodinamica statistica, la teoria dei grafi viene utilizzata nella chimica organica per prevedere le proprietà di molecole organiche complesse, le equazioni differenziali sono lo strumento principale nella cinetica chimica e i metodi topologia e geometria differenziale sono utilizzati nella termodinamica chimica.

L'espressione "chimica matematica" è entrata a far parte del lessico dei chimici. Molti articoli in riviste chimiche serie non contengono una singola formula chimica, ma sono pieni di equazioni matematiche.

La simmetria è uno dei concetti di base nella scienza moderna. È alla base delle leggi fondamentali della natura come la legge di conservazione dell'energia. La simmetria è un fenomeno molto comune in chimica: quasi tutte le molecole conosciute possiedono una simmetria di qualche tipo o contengono frammenti simmetrici. Quindi probabilmente è più difficile trovare una molecola asimmetrica in chimica che una simmetrica.

L'interazione tra chimici e matematici non si limita a risolvere solo problemi chimici. A volte sorgono problemi astratti in chimica, che portano persino all'emergere di nuove aree della matematica.

Il ruolo della matematica in medicina

Non c'è da stupirsi che molte persone chiamassero la matematica la regina delle scienze, poiché le applicazioni di questa scienza possono essere trovate in qualsiasi campo dell'attività umana. Tuttavia, il valore della matematica in scienze meno rigorose come "medicina e biologia" viene spesso messo in discussione. Poiché la possibilità di ottenere i risultati più accurati di analisi o esperimenti è zero. Questo fattore può essere spiegato dal fatto che il nostro mondo nel suo insieme è molto mutevole ed è difficile prevedere cosa accadrà a questo o quel soggetto di analisi.

La matematica in medicina è più spesso utilizzata nella modellazione come metodo di analisi scientifica. Tuttavia, questo metodo ha iniziato ad essere utilizzato nei tempi antichi in settori come: architettura, astronomia, fisica, biologia e, negli ultimi anni, medicina. Attualmente è stato accumulato un bagaglio di conoscenze molto ricco sulle malattie infettive, non solo la sintomatologia, ma anche il decorso della malattia, i risultati di analisi fondamentali riguardanti il \u200b\u200bmeccanismo di interazione di antigeni e anticorpi a vari livelli di dettaglio: macroscopico, microscopico, fino al livello genetico. Questi metodi di ricerca hanno permesso di avvicinarsi alla costruzione di modelli matematici di processi immunitari.

La matematica in medicina non si ferma qui, viene utilizzata anche in specialità così ristrette come pediatria e ostetricia.

E quanti metodi di conteggio esistono nel corso dell'uso di antibiotici. Nei prodotti farmaceutici, la matematica è particolarmente importante. Dopotutto, è necessario calcolare con precisione quanto il farmaco deve essere somministrato a una determinata persona, a seconda delle sue caratteristiche personali, e anche la composizione della sostanza medicinale stessa deve essere calcolata in modo da non commettere errori da nessuna parte. I farmacisti si stanno arrovellando il cervello per trovare uno o il componente più vantaggioso per la catena della formula di qualsiasi farmaco.

Il ruolo della matematica in medicina è inestimabile, senza questa scienza (nel suo insieme) nulla è possibile, non è per niente che è considerata una "regina". Ora anche molti autori scrivono libri sulla matematica, sul contributo inestimabile che ha dato.

Il ruolo della matematica negli scacchi

Gli scacchi e la matematica hanno molto in comune. L'eminente matematico Godfrey Harald Hardy una volta osservò che risolvere i problemi in una partita a scacchi non è altro che un esercizio matematico, e il gioco stesso è un fischio di melodie matematiche. Le forme di pensiero di un matematico e di un giocatore di scacchi sono molto vicine, e non è un caso che i matematici siano spesso abili giocatori di scacchi.

Tra eminenti scienziati, esperti nel campo delle scienze esatte, ci sono molti forti giocatori di scacchi, ad esempio il matematico accademico A.A. Markov, il meccanico accademico A. Yu. Ishlinsky, il fisico accademico, il premio Nobel P. L. Kapitsa.

Gli scacchi sono costantemente usati per illustrare vari concetti e idee matematiche. Esempi e termini di scacchi possono essere trovati in letteratura, teoria dei giochi, ecc. Vazh.

La matematica degli scacchi è uno dei generi più popolari di matematica divertente, giochi di logica e intrattenimento. Tuttavia, alcuni puzzle matematici-scacchi sono così complessi che eminenti matematici hanno sviluppato per loro uno speciale apparato matematico.

In quasi ogni raccolta di problemi matematici olimpici o in un libro di puzzle e tempo libero matematico, puoi trovare problemi belli e spiritosi con la partecipazione di una scacchiera e pezzi. Molti di loro hanno una storia interessante e hanno attirato l'attenzione di famosi scienziati.

Gli scacchi sono costantemente usati per illustrare vari concetti e idee matematiche. Esempi e termini di scacchi possono essere trovati in letteratura, teoria dei giochi, ecc. Gli scacchi occupano un posto importante nella "informatica".

Senza la conoscenza della matematica, è impossibile risolvere molti problemi sulla scacchiera. Senza assimilare la conoscenza matematica è difficile capire cosa sta succedendo nel campo della matematica ora, nel campo delle altre scienze. Quindi il ruolo della matematica nella vita della società aumenta ogni giorno di più.

Le scienze differiscono l'una dall'altra nell'argomento della ricerca, innanzitutto per il fatto che ciascuna di esse studia uno dei lati del mondo reale, una o più forme di movimento della realtà oggettiva strettamente correlate e trasformatrici.

Considera una delle possibili opzioni per la classificazione delle scienze:

Scienze naturali, studiare materie, fenomeni e leggi della natura. Tra questi si distinguono: meccanica, astronomia, fisica, chimica, paleontologia, biologia e altre scienze.

Scienze sociali, studiare i fenomeni della vita sociale. Tali scienze sono la scienza storica, l'economia politica, ecc.

Tecnico scienzastudio del funzionamento di dispositivi e sistemi tecnici. Ad esempio, la teoria delle macchine e dei meccanismi, la resistenza dei materiali, ecc. eccetera.

Scienze cognitive: filosofia, logica, psicologia, ecc.

In precedenza, scienziati e filosofi spesso consideravano la matematica una disciplina delle scienze naturali. Ora si dice di solito che la matematica è una scienza indipendente, dal grado di generalità che si trova tra filosofia e scienze naturali.

La matematica, come altre scienze, studia il mondo reale e materiale, gli oggetti di questo mondo e il rapporto tra loro. Tuttavia, a differenza delle scienze della natura, che studiano varie forme di movimento della materia (meccanica, fisica, chimica, biologia, ecc.) O forme di trasferimento di informazioni (informatica, teoria degli automi e altri rami della cibernetica), la matematica studia le forme e le relazioni del mondo materiale. presi in astrazione dal loro contenuto. Pertanto, la matematica non studia alcuna forma speciale di movimento della materia e, quindi, non può essere considerata come una delle scienze naturali.

Nella seconda metà del XIX secolo. F. Engels ha dato la seguente definizione del soggetto della matematica: "La matematica pura ha come oggetto le forme spaziali e le relazioni quantitative del mondo reale, quindi è un materiale molto reale". Allo stesso tempo, ha sottolineato: “Ma per poter indagare queste forme e relazioni nella loro forma pura, è necessario separarle completamente dal loro contenuto, lasciare da parte quest'ultimo, come qualcosa di indifferente; in questo modo si ottengono punti privi di misure, linee prive di spessore e larghezza, differenti e e b , x e y , quantità costanti e variabili "

Da queste parole di Engels risulta che i concetti iniziali della matematica, che furono oggetto di studio fin dall'inizio della scienza matematica - numero naturale, grandezza e figura geometrica - sono presi in prestito dal mondo reale, sono il risultato dell'astrazione delle caratteristiche individuali degli oggetti materiali e non sono nati attraverso il "pensiero puro" divorziato dalla realtà. Allo stesso tempo, per diventare oggetto di ricerca matematica, le proprietà e le relazioni degli oggetti materiali devono essere astratte dal loro contenuto materiale.

Pertanto, la specificità della matematica sta nel fatto che individua relazioni quantitative e forme spaziali inerenti a tutti gli oggetti e fenomeni, indipendentemente dal loro contenuto materiale, astrae queste relazioni e forme e le rende oggetto della sua ricerca.

Tuttavia, la definizione di F. Engels riflette ampiamente lo stato della matematica nella seconda metà del XIX secolo. e non tiene conto di quelle delle sue nuove aree che non sono direttamente collegate né a relazioni quantitative né a forme geometriche. Si tratta, prima di tutto, della logica matematica e delle discipline legate alla programmazione del computer. Pertanto, la definizione di F. Engels necessita di alcuni chiarimenti. Forse si dovrebbe dire che la matematica ha come oggetto di studio forme spaziali, relazioni quantitative e costruzioni logiche.

Le proprietà idealizzate degli oggetti in esame sono formulate sotto forma di assiomi o elencate nella definizione dei corrispondenti oggetti matematici. Quindi, secondo rigide regole di inferenza, altre proprietà vere (teoremi) derivano da queste proprietà. Insieme, questa teoria forma un modello matematico dell'oggetto in studio. Quindi, procedendo inizialmente da relazioni spaziali e quantitative, la matematica ottiene relazioni più astratte, il cui studio è anche oggetto della matematica moderna.

Tradizionalmente, la matematica si divide in teorica, che esegue un'analisi approfondita delle strutture intra-matematiche, e applicata, che fornisce i suoi modelli ad altre scienze e discipline ingegneristiche, alcune delle quali occupano una posizione al confine con la matematica. In particolare, la logica formale può essere considerata sia come parte delle scienze filosofiche sia come parte delle scienze matematiche; meccanica - sia fisica che matematica; informatica, tecnologia informatica e algoritmi si riferiscono sia all'ingegneria che alle scienze matematiche, ecc. Molte definizioni differenti di matematica sono state proposte in letteratura.

Etimologia

La parola "matematica" deriva dal greco antico. μάθημα che significa studia, conoscenza, la scienzae altro greco. μαθηματικός , originariamente significato ricettivo, di successo dopo correlato allo studio, successivamente matematica... In particolare, μαθηματικὴ τέχνη , in latino ars matematicasi intende arte della matematica... Il termine greco antico. μᾰθημᾰτικά nel senso moderno della parola "matematica" si trova già nelle opere di Aristotele (IV secolo aC). Secondo Vasmer, la parola è arrivata in lingua russa tramite il polacco. matematyka, o tramite lat. matematica.

Definizioni

Una delle prime definizioni del soggetto della matematica è stata data da Descartes:

Il campo della matematica include solo quelle scienze in cui si considera l'ordine o la misura, ed è del tutto irrilevante se saranno numeri, figure, stelle, suoni o qualcos'altro, in cui si cerca questa misura. Quindi, dovrebbe esserci una scienza generale che spieghi tutto ciò che riguarda l'ordine e la misura, senza entrare nello studio di materie particolari, e questa scienza non dovrebbe essere chiamata straniera, ma il vecchio nome già in uso di Matematica generale.

In epoca sovietica, la definizione del TSB, data da A.N.Kolmogorov, era considerata un classico:

Matematica ... la scienza delle relazioni quantitative e delle forme spaziali del mondo reale.

L'essenza della matematica ... è ora presentata come la dottrina della relazione tra oggetti, di cui non si sa nulla, tranne alcune delle proprietà che li descrivono - precisamente quelle che sono poste alla base della teoria come assiomi ... La matematica è un insieme di forme astratte - strutture matematiche.

Sezioni di matematica

1. Matematica come disciplina accademica è suddiviso nella Federazione Russa in matematica elementare studiata nella scuola secondaria e istruita nelle seguenti discipline:

• geometria elementare: planimetria e stereometria
• teoria delle funzioni elementari ed elementi di analisi

4. L'American Mathematical Society (AMS) ha sviluppato un proprio standard per la classificazione dei rami della matematica. Si chiama Classificazione dei soggetti matematici. Questo standard viene aggiornato periodicamente. La versione attuale è MSC 2010. La versione precedente è MSC 2000.

Designazioni

Poiché la matematica si occupa di strutture estremamente diverse e piuttosto complesse, anche il sistema di notazione in essa contenuto è molto complesso. Il moderno sistema di scrittura delle formule si è formato sulla base della tradizione algebrica europea, nonché sulle esigenze dei rami successivi della matematica: analisi matematica, logica matematica, teoria degli insiemi, ecc. La geometria da tempo immemorabile ha utilizzato una rappresentazione visiva (geometrica). Nella matematica moderna, sono comuni anche sistemi di notazione grafica complessi (ad esempio diagrammi commutativi) e spesso viene utilizzata anche la notazione basata su grafici.

Storia breve

Lo sviluppo della matematica si basa sulla scrittura e sulla capacità di scrivere numeri. Probabilmente, gli antichi hanno prima espresso la quantità tracciando delle linee sul terreno o graffiandole sul legno. Gli antichi Incas, non avendo altro sistema di scrittura, rappresentavano e memorizzavano dati numerici utilizzando un complesso sistema di nodi di corda, il cosiddetto kipu. C'erano molti diversi sistemi numerici. Le prime registrazioni note di numeri sono state trovate nel papiro Ahmes creato dagli egiziani nel Regno di Mezzo. La civiltà indiana ha sviluppato il moderno sistema di numeri decimali, incorporando il concetto di zero.

Storicamente, le principali discipline matematiche sono emerse sotto l'influenza della necessità di effettuare calcoli in ambito commerciale, nella misura delle terre e di prevedere fenomeni astronomici e, successivamente, di risolvere nuovi problemi fisici. Ognuna di queste aree gioca un ruolo importante nel più ampio sviluppo della matematica, che consiste nello studio di strutture, spazi e cambiamenti.

Filosofia della matematica

Obiettivi e metodi

La matematica studia oggetti immaginari e ideali e le relazioni tra loro usando un linguaggio formale. In generale, concetti e teoremi matematici non corrispondono necessariamente a nulla nel mondo fisico. Il compito principale della sezione applicata della matematica è creare un modello matematico sufficientemente adeguato all'oggetto reale in esame. Il compito del matematico teorico è fornire una serie sufficiente di mezzi convenienti per raggiungere questo obiettivo.

Il contenuto della matematica può essere definito come un sistema di modelli matematici e strumenti per crearli. Il modello di un oggetto non tiene conto di tutte le sue caratteristiche, ma solo di quelle più necessarie ai fini dello studio (idealizzato). Ad esempio, studiando le proprietà fisiche di un'arancia, possiamo astrarre dal suo colore e sapore e immaginarlo (anche se non perfettamente accuratamente) come una palla. Se dobbiamo capire quante arance risulteranno se sommiamo due e tre insieme, allora possiamo astrarre dalla forma, lasciando al modello una sola caratteristica: la quantità. L'astrazione e la creazione di connessioni tra oggetti nella forma più generale è una delle principali direzioni della creatività matematica.

Un'altra direzione, insieme all'astrazione, è la generalizzazione. Ad esempio, generalizzando il concetto di "spazio" allo spazio delle n dimensioni. " Spazio R n (\\ displaystyle \\ mathbb (R) ^ (n)), a n\u003e 3 (\\ displaystyle n\u003e 3) è un'invenzione matematica. Tuttavia, un'invenzione molto ingegnosa che aiuta a comprendere matematicamente fenomeni complessi».

Lo studio degli oggetti intramatematici, di regola, avviene utilizzando il metodo assiomatico: prima, per gli oggetti in studio, viene formulato un elenco di concetti e assiomi di base, quindi dagli assiomi, utilizzando regole di inferenza, si ottengono teoremi significativi, che insieme formano un modello matematico.

Fondazioni

Intuizionismo

L'intuizionismo assume alla base della matematica una logica intuizionista, più limitata nei mezzi di dimostrazione (ma, si crede, e più affidabile). L'intuizionismo rifiuta la dimostrazione per contraddizione, molte prove non costruttive diventano impossibili e molti problemi della teoria degli insiemi diventano privi di significato (non formalizzati).

Matematica costruttiva

La matematica costruttiva è un movimento vicino all'intuizionismo in matematica che studia le costruzioni costruttive [ chiarire]. Secondo il criterio della costruttività - " esistere è essere costruito". Il criterio della costruttività è un requisito più forte del criterio della coerenza.

Temi principali

quantità

La sezione principale che si occupa dell'astrazione della quantità è l'algebra. Il concetto "numero" originariamente derivava da rappresentazioni aritmetiche e si riferiva a numeri naturali. Successivamente, con l'aiuto dell'algebra, è stato gradualmente esteso a numeri interi, razionali, reali, complessi e altri.

Trasformazioni

I fenomeni di trasformazioni e mutamenti nella forma più generale sono considerati dall'analisi.

Strutture

Relazioni spaziali

Le basi delle relazioni spaziali sono considerate dalla geometria. La trigonometria esamina le proprietà delle funzioni trigonometriche. La geometria differenziale si occupa dello studio di oggetti geometrici attraverso l'analisi matematica. La topologia studia le proprietà degli spazi che rimangono inalterati sotto continue deformazioni e il fenomeno stesso della continuità.

Geometria	Trigonometria	Geometria differenziale	Topologia	Frattali	Misura la teoria

Matematica discreta

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\\ Displaystyle \\ forall x (P (x) \\ Freccia destra P (x ")))