Ilmu matematika dan metamorfosisnya. Disiplin matematika

Aktivitas matematika tertua adalah berhitung. Akun diperlukan untuk melacak ternak dan perdagangan. Beberapa suku primitif menghitung jumlah objek dengan membandingkan bagian tubuh yang berbeda dengan mereka, terutama ... ... Ensiklopedia Collier

Sejarah Sains ... Wikipedia

Artikel ini adalah bagian dari ulasan Sejarah Matematika. Isi 1 Purbakala dan Abad Pertengahan 2 XVII abad 3 ... Wikipedia

Doktrin tentang esensi pengetahuan matematika dan prinsip-prinsip dasar pembuktian matematika, merupakan bagian dari filsafat ilmu; itu juga bisa disebut "metamathematics". Isi 1 Kemungkinan dasar matematika 2 Sastra ... Wikipedia

Artikel ini adalah bagian dari ulasan Sejarah Matematika. Prestasi ilmiah matematika India sangat luas dan beragam. Sudah di zaman kuno, para ilmuwan India, dengan cara mereka sendiri, dalam banyak hal cara asli perkembangannya, mencapai tingkat pengetahuan matematika yang tinggi .... ... Wikipedia

Institut Penelitian Ilmiah Matematika dan Mekanika dinamai Akademisi V. I. Smirnov (NIIMM SPbSU) adalah subdivisi struktural dari Universitas Negeri St. Petersburg. Melakukan peran organisasi, merupakan bahan dasar untuk ... ... Wikipedia

Euclid. Detil dari "School of Athens" oleh Raphael the Mathematician (dari bahasa Yunani lainnya ... Wikipedia

Matematika diskrit adalah bidang matematika yang berhubungan dengan studi tentang struktur diskrit yang muncul baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam aplikasinya. Struktur seperti itu dapat mencakup grup hingga, grafik hingga, dan ... ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Analisis. Analisis matematika adalah sekumpulan bagian matematika yang dikhususkan untuk mempelajari fungsi dan generalisasinya dengan metode kalkulus diferensial dan integral. Dengan yang umum ... ... Wikipedia

Metode membangun teori, dengan beberapa ketentuannya - aksioma atau postulat - dari mana semua ketentuan lain dari teori (teorema) disimpulkan dengan penalaran, disebut bukti m dan. Aturan, di depan mata ... ... Ensiklopedia Filsafat

Buku

• Bagian khusus matematika. Lokakarya, V. A. Kramar, V. A. Karapetyan, V. V. Alchakov. Bagian khusus dari matematika dipertimbangkan, yang digunakan dalam studi sejumlah disiplin ilmu khusus ke arah Manajemen dalam sistem teknis. Utama ...
• Bagian probabilistik matematika: Buku teks untuk sarjana jurusan teknis (di bawah editor umum Maksimov Yu. D.), Amosova NN, Kuklin BA, Makarova S.B. dan sebagainya.. …

Matematika - ilmu tentang struktur, keteraturan dan hubungan, yang secara historis berkembang atas dasar operasi penghitungan, pengukuran, dan penggambaran bentuk objek. Objek matematika dibuat dengan mengidealkan properti nyata atau objek matematika lainnya dan menulis properti ini dalam bahasa formal. Matematika tidak berlaku untuk ilmu alam, tetapi digunakan secara luas di dalamnya untuk perumusan yang tepat dari kontennya dan untuk mendapatkan hasil baru. Matematika adalah ilmu fundamental yang menyediakan sarana linguistik (umum) bagi ilmu-ilmu lain; dengan demikian, ini mengungkapkan hubungan struktural mereka dan berkontribusi untuk menemukan hukum alam yang paling umum.

Sejarah matematika.

Akademisi A.N. Kolmogorov mengusulkan struktur berikut untuk sejarah matematika:

1. Periode kelahiran matematika, di mana sejumlah besar materi faktual terkumpul;

2. Periode matematika dasar, dimulai pada abad VI-V SM. e. berakhir pada akhir abad ke-16 ("Stok konsep yang ditangani matematika sampai awal abad ke-17 masih merupakan dasar dari" matematika dasar "yang diajarkan di sekolah dasar dan menengah");

3. Periode matematika dengan jumlah variabel, yang mencakup abad XVII-XVIII, "yang secara konvensional dapat disebut periode" matematika yang lebih tinggi "";

4. Periode matematika modern - matematika abad XIX-XX, di mana para matematikawan harus "menangani proses pengembangan subjek penelitian matematika secara sadar, menetapkan sendiri tugas studi sistematis dari sudut pandang yang cukup umum tentang kemungkinan jenis hubungan kuantitatif dan bentuk spasial".

Perkembangan matematika dimulai pada saat yang sama ketika manusia mulai menggunakan abstraksi dari tingkat yang lebih tinggi. Abstraksi sederhana adalah angka; pemahaman bahwa dua apel dan dua jeruk, terlepas dari semua perbedaannya, memiliki kesamaan, yaitu, keduanya menempati kedua tangan satu orang, adalah pencapaian kualitatif pemikiran manusia. Selain fakta bahwa orang kuno belajar cara menghitung benda beton, mereka juga memahami cara menghitung besaran abstrak, seperti waktu: hari, musim, tahun. Dari penghitungan dasar, aritmatika secara alami mulai berkembang: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan.

Perkembangan matematika bertumpu pada kemampuan menulis dan kemampuan menulis angka. Mungkin, orang kuno pertama kali mengungkapkan jumlahnya dengan menggambar garis di tanah atau menggaruknya di atas kayu. Suku Inca kuno, yang tidak memiliki sistem penulisan lain, merepresentasikan dan menyimpan data numerik menggunakan sistem simpul tali yang kompleks, yang disebut kipu. Ada banyak sistem angka yang berbeda. Catatan angka pertama yang diketahui ditemukan di papirus Ahmes yang dibuat oleh orang Mesir di Kerajaan Tengah. Peradaban Inca mengembangkan sistem bilangan desimal modern, yang menggabungkan konsep nol.

Secara historis, disiplin matematika dasar telah muncul di bawah pengaruh kebutuhan untuk melakukan perhitungan di bidang komersial, dalam pengukuran tanah dan untuk memprediksi fenomena astronomi dan, kemudian, untuk memecahkan masalah fisik baru. Masing-masing bidang ini memainkan peran besar dalam perkembangan matematika yang lebih luas, yang terdiri dari studi tentang struktur, ruang, dan perubahan.

Matematika mempelajari objek imajiner, ideal dan hubungan di antara mereka menggunakan bahasa formal. Secara umum, konsep dan teorema matematika tidak selalu sesuai dengan apa pun di dunia fisik. Tugas utama bagian terapan matematika adalah membuat model matematika yang cukup memadai untuk objek nyata yang diteliti. Tugas ahli matematika teoretis adalah menyediakan seperangkat sarana yang memadai untuk mencapai tujuan ini.

Isi matematika dapat diartikan sebagai sistem model matematika dan alat untuk penciptaannya. Model suatu objek tidak memperhitungkan semua fiturnya, tetapi hanya yang paling diperlukan untuk keperluan studi (diidealkan). Misalnya belajar properti fisik oranye, kita dapat mengabstraksi dari warna dan rasanya dan membayangkannya (meskipun tidak secara akurat) dengan sebuah bola. Jika kita perlu memahami berapa banyak jeruk yang akan dihasilkan jika kita menjumlahkan dua dan tiga, maka kita dapat mengabstraksikan dari bentuknya, menyisakan model dengan hanya satu karakteristik - kuantitas. Abstraksi dan pembentukan koneksi antar objek dalam bentuk yang paling umum merupakan salah satu arahan utama kreativitas matematika.

Pertimbangkan peran matematika dalam kimia, kedokteran, dan catur.

Peran matematika dalam kimia

Kimia banyak menggunakan untuk tujuannya sendiri pencapaian ilmu lain, terutama fisika dan matematika.

Kimiawan biasanya mendefinisikan matematika dengan cara yang sederhana - sebagai ilmu tentang angka. Banyak sifat zat dan karakteristik reaksi kimia dinyatakan dalam bilangan. Untuk mendeskripsikan substansi dan reaksi digunakan teori fisika, dimana peran matematika begitu besar sehingga terkadang sulit untuk memahami dimana fisika dan dimana matematika berada. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kimia tidak terpikirkan tanpa matematika.

Bagi ahli kimia, matematika adalah, pertama-tama, alat yang berguna untuk memecahkan banyak masalah kimia. Sangat sulit untuk menemukan cabang matematika yang tidak digunakan sama sekali dalam kimia. Analisis fungsional dan teori grup banyak digunakan dalam kimia kuantum, teori probabilitas adalah dasar dari termodinamika statistik, teori grafik digunakan dalam kimia organik untuk memprediksi sifat-sifat molekul organik kompleks, persamaan diferensial adalah alat utama dalam kinetika kimia, dan metode topologi dan geometri diferensial digunakan dalam termodinamika kimia.

Ungkapan "kimia matematika" telah menjadi bagian dari leksikon ahli kimia. Banyak artikel di jurnal kimia serius tidak berisi satu rumus kimia, tetapi sarat dengan persamaan matematika.

Simetri adalah salah satu konsep dasar dalam sains modern. Hal tersebut mendasari hukum alam yang fundamental seperti hukum kekekalan energi. Simetri adalah fenomena yang sangat umum dalam kimia: hampir semua molekul yang dikenal, baik itu sendiri, memiliki beberapa jenis simetri, atau mengandung fragmen simetris. Jadi, mungkin lebih sulit menemukan molekul asimetris dalam kimia daripada molekul simetris.

Interaksi ahli kimia dan matematikawan tidak terbatas pada pemecahan masalah kimia saja. Terkadang masalah abstrak muncul dalam ilmu kimia, yang bahkan mengarah pada munculnya bidang-bidang baru matematika.

Peran matematika dalam kedokteran

Tak heran jika banyak orang menyebut matematika sebagai ratu ilmu, karena penerapan ilmu ini bisa ditemukan di segala bidang aktivitas manusia. Namun, nilai matematika dalam ilmu yang kurang ketat seperti "kedokteran dan biologi" sering dipertanyakan. Karena peluang untuk mencapai hasil analisis atau eksperimen yang paling akurat adalah nol. Faktor ini dapat dijelaskan oleh fakta bahwa dunia kita secara keseluruhan sangat mudah berubah, dan sulit untuk memprediksi apa yang akan terjadi pada subjek analisis ini atau itu.

Matematika dalam kedokteran paling sering digunakan dalam pemodelan sebagai metode analisis ilmiah. Namun, metode ini mulai digunakan pada zaman kuno di industri seperti: arsitektur, astronomi, fisika, biologi, dan sejak beberapa tahun terakhir - kedokteran. Saat ini telah terkumpul banyak sekali bekal pengetahuan tentang penyakit infeksi, tidak hanya simptomatologinya, tetapi juga perjalanan penyakitnya, hasil analisis fundamental mengenai mekanisme interaksi antigen dan antibodi pada berbagai tingkat detail: makroskopis, mikroskopis, hingga tingkat genetik. Metode penelitian ini memungkinkan untuk mendekati konstruksi model matematika dari proses kekebalan.

Matematika dalam kedokteran tidak berhenti sampai di situ, ia juga digunakan dalam spesialisasi sempit seperti pediatri dan kebidanan.

Dan berapa banyak metode penghitungan yang ada selama penggunaan antibiotik. Dalam farmasi, matematika sangat penting. Bagaimanapun, perlu dihitung secara akurat berapa banyak obat yang perlu diberikan kepada orang tertentu, tergantung pada karakteristik pribadinya, dan bahkan komposisi bahan obat itu sendiri harus dihitung agar tidak membuat kesalahan di mana pun. Apoteker memeras otak mereka untuk menemukan satu atau komponen paling bermanfaat untuk rantai formula obat apa pun.

Peran matematika dalam kedokteran tidak ternilai harganya, tanpa ilmu ini (secara umum) tidak ada yang mungkin, bukan tanpa alasan ia dianggap sebagai "ratu". Sekarang bahkan banyak penulis yang menulis buku tentang matematika, tentang sumbangan yang sangat berharga yang dibuatnya.

Peran matematika dalam catur

Catur dan matematika memiliki banyak kesamaan. Matematikawan terkemuka Godfrey Harald Hardy pernah berkata bahwa memecahkan masalah dalam permainan catur tidak lebih dari latihan matematika, dan permainan itu sendiri adalah peluit dari lagu-lagu matematika. Bentuk pemikiran matematikawan dan pecatur sangat mirip, dan bukan kebetulan bahwa matematikawan sering kali adalah pecatur yang cakap.

Di antara ilmuwan terkemuka, ahli di bidang eksakta, terdapat banyak pecatur yang kuat, misalnya matematikawan Akademisi A.A. Markov, Akademisi mekanik A. Yu. Ishlinsky, Fisikawan Akademisi, Peraih Hadiah Nobel P.L.Kapitsa.

Catur selalu digunakan untuk menggambarkan berbagai konsep dan ide matematika. Contoh dan istilah catur dapat ditemukan dalam literatur, teori permainan, dll. Vazh.

Matematika catur adalah salah satu genre paling populer dari matematika yang menghibur, permainan logika, dan hiburan. Namun, beberapa catur dan teka-teki matematika begitu kompleks sehingga ahli matematika terkemuka mengembangkan alat matematika khusus untuk mereka.

Di hampir setiap kumpulan masalah matematika olimpiade atau buku teka-teki dan waktu luang matematika, Anda dapat menemukan masalah yang indah dan jenaka dengan partisipasi papan catur dan bidak. Banyak dari mereka punya cerita yang menarik, Menarik perhatian ilmuwan terkenal.

Catur selalu digunakan untuk menggambarkan berbagai konsep dan ide matematika. Contoh dan istilah catur dapat ditemukan dalam literatur, teori permainan, dll. Catur menempati tempat penting dalam "ilmu komputer".

Tanpa pengetahuan matematika, tidak mungkin menyelesaikan banyak masalah di papan catur. Tanpa mengasimilasi pengetahuan matematika, sulit untuk memahami apa yang terjadi di bidang matematika sekarang, di bidang ilmu lain. Sehingga peran matematika dalam kehidupan masyarakat semakin hari semakin meningkat.

Ilmu-ilmu berbeda satu sama lain dalam subjek penelitian, pertama-tama, masing-masing mempelajari salah satu sisi dunia nyata, satu atau beberapa yang terkait erat dan saling melewati bentuk-bentuk pergerakan realitas objektif.

Pertimbangkan salah satu opsi yang memungkinkan untuk klasifikasi ilmu:

Ilmu alam, mempelajari mata pelajaran, fenomena dan hukum alam. Diantaranya dibedakan: mekanika, astronomi, fisika, kimia, paleontologi, biologi dan ilmu lainnya.

Ilmu Sosial, mempelajari fenomena kehidupan sosial. Ilmu-ilmu tersebut adalah ilmu sejarah, ekonomi politik, dll.

Teknis ilmumempelajari fungsi perangkat dan sistem teknis. Misalnya teori mesin dan mekanisme, ketahanan material, dll. dll.

Ilmu Kognitif: filsafat, logika, psikologi, dll.

Sebelumnya, para ilmuwan dan filsuf sering menganggap matematika sebagai disiplin ilmu alam. Sekarang biasanya dikatakan bahwa matematika adalah ilmu yang berdiri sendiri, dengan derajat keumuman yang terletak di antara filsafat dan ilmu alam.

Matematika, seperti sains lainnya, mempelajari dunia material yang nyata, objek-objek dunia ini dan hubungan di antara mereka. Namun, tidak seperti ilmu alam, yang mempelajari berbagai bentuk gerak materi (mekanika, fisika, kimia, biologi, dll.) Atau bentuk transfer informasi (ilmu komputer, teori automata, dan cabang sibernetika lainnya), matematika mempelajari bentuk dan hubungan dunia material. diambil dalam abstraksi dari isinya. Oleh karena itu, matematika tidak mempelajari bentuk khusus dari gerak materi dan, oleh karena itu, tidak dapat dianggap sebagai salah satu ilmu alam.

Di paruh kedua abad XIX. F. Engels memberikan definisi subjek matematika sebagai berikut: "Matematika murni memiliki bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dari dunia nyata sebagai objeknya, oleh karena itu ia merupakan materi yang sangat nyata." Pada saat yang sama dia menunjukkan: “Tetapi untuk dapat menyelidiki bentuk-bentuk dan hubungan ini dalam bentuknya yang murni, adalah perlu untuk memisahkan mereka sepenuhnya dari isinya, mengesampingkan yang terakhir ini, sebagai sesuatu yang acuh tak acuh; dengan cara ini kita mendapatkan poin tanpa pengukuran, garis tanpa ketebalan dan lebar, berbeda sebuah dan b , x dan y , jumlah konstan dan variabel "

Dari kata-kata Engels ini dapat disimpulkan bahwa konsep asli matematika, yang merupakan subjek studi sejak permulaan ilmu matematika - bilangan asli, besar dan bilangan geometris - dipinjam dari dunia nyata, adalah hasil abstraksi fitur individu objek material, dan tidak muncul melalui "pemikiran murni" bercerai dari kenyataan. Pada saat yang sama, untuk menjadi subjek penelitian matematika, properti dan hubungan objek material harus disarikan dari konten materialnya.

Dengan demikian, kekhususan matematika terletak pada kenyataan bahwa ia memilih hubungan kuantitatif dan bentuk spasial yang melekat dalam semua objek dan fenomena, terlepas dari konten materialnya, mengabstraksi hubungan dan bentuk ini dan menjadikannya objek penelitiannya.

Namun, definisi F. Engels sebagian besar mencerminkan keadaan matematika di paruh kedua abad ke-19. dan tidak memperhitungkan area baru yang tidak terkait langsung baik dengan hubungan kuantitatif maupun bentuk geometris. Ini adalah, pertama-tama, logika matematika dan disiplin ilmu yang terkait dengan pemrograman komputer. Oleh karena itu, definisi F. Engels memerlukan beberapa klarifikasi. Mungkin harus dikatakan bahwa matematika memiliki objek studi bentuk spasial, hubungan kuantitatif dan konstruksi logis.

Properti ideal dari objek yang diteliti dapat diformulasikan dalam bentuk aksioma atau terdaftar dalam definisi objek matematika yang sesuai. Kemudian, menurut aturan inferensi yang ketat, sifat benar lainnya (teorema) diturunkan dari sifat ini. Bersama-sama, teori ini membentuk model matematika dari objek yang diteliti. Jadi, awalnya berangkat dari hubungan spasial dan kuantitatif, matematika memperoleh hubungan yang lebih abstrak, yang kajiannya juga merupakan subjek matematika modern.

Secara tradisional, matematika dibagi menjadi teori, yang melakukan analisis mendalam terhadap struktur intra-matematika, dan diterapkan, yang memberikan modelnya ke ilmu lain dan disiplin teknik, dan beberapa di antaranya menempati posisi garis batas dengan matematika. Secara khusus, logika formal dapat dianggap baik sebagai bagian dari ilmu filosofis dan sebagai bagian dari ilmu matematika; mekanika - baik fisika maupun matematika; informatika, teknologi komputer dan algoritma mengacu pada ilmu teknik dan matematika, dll. Banyak definisi matematika yang berbeda telah diajukan dalam literatur.

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani kuno. μάθημα yang berarti mempelajari, pengetahuan, ilmu, dan bahasa Yunani lainnya. μαθηματικός , arti aslinya reseptif, sukses kemudian terkait studi, selanjutnya matematika... Khususnya, μαθηματικὴ τέχνη , dalam bahasa Latin ars mathematicacara seni matematika... Istilah Yunani kuno. μᾰθημᾰτικά dalam pengertian modern kata "matematika" sudah ditemukan dalam karya Aristoteles (abad IV SM). Menurut Vasmer, kata itu masuk ke bahasa Rusia baik melalui Polandia. matematyka, atau melalui lat. mathematica.

Definisi

Salah satu definisi pertama dari subjek matematika diberikan oleh Descartes:

Bidang matematika hanya mencakup ilmu-ilmu di mana urutan atau ukuran dipertimbangkan, dan sama sekali tidak relevan apakah itu akan berupa angka, angka, bintang, suara atau sesuatu yang lain, di mana ukuran ini dicari. Dengan demikian, harus ada ilmu umum tertentu yang menjelaskan segala sesuatu yang berkaitan dengan keteraturan dan takaran, tanpa masuk ke dalam kajian mata pelajaran tertentu, dan ilmu ini tidak boleh disebut asing, melainkan yang lama, sudah memakai nama Matematika Umum.

Di zaman Soviet, definisi TSB, yang diberikan oleh A.N.Kolmogorov, dianggap klasik:

Matematika ... ilmu tentang hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dari dunia nyata.

Inti dari matematika ... sekarang disajikan sebagai doktrin hubungan antar objek, yang tidak diketahui apa-apa, kecuali beberapa properti yang mendeskripsikannya - tepatnya yang diletakkan di dasar teori sebagai aksioma ... Matematika adalah sekumpulan bentuk abstrak - struktur matematika.

Bagian matematika

1. Matematika sebagai disiplin akademis di Federasi Rusia dibagi lagi menjadi matematika dasar yang dipelajari di sekolah menengah dan dididik dalam disiplin ilmu berikut:

• geometri dasar: planimetri dan stereometri
• teori fungsi dasar dan elemen analisis

4. American Mathematical Society (AMS) telah mengembangkan standarnya sendiri untuk klasifikasi cabang matematika. Ini disebut Klasifikasi Mata Pelajaran Matematika. Standar ini diperbarui secara berkala. Versi saat ini adalah MSC 2010. Versi sebelumnya adalah MSC 2000.

Penunjukan

Karena matematika berurusan dengan struktur yang sangat beragam dan agak kompleks, sistem notasi di dalamnya juga sangat kompleks. Sistem modern penulisan rumus dibentuk atas dasar tradisi aljabar Eropa, serta kebutuhan cabang-cabang matematika selanjutnya - analisis matematika, logika matematika, teori himpunan, dll. Geometri dari zaman dahulu telah menggunakan representasi visual (geometris). Dalam matematika modern, sistem notasi grafis yang kompleks (misalnya, diagram komutatif) juga umum digunakan, dan notasi berbasis grafik juga sering digunakan.

Cerita pendek

Perkembangan matematika bertumpu pada kemampuan menulis dan kemampuan menulis angka. Mungkin, orang kuno pertama kali mengungkapkan jumlahnya dengan menggambar garis di tanah atau menggaruknya di atas kayu. Suku Inca kuno, yang tidak memiliki sistem penulisan lain, merepresentasikan dan menyimpan data numerik menggunakan sistem simpul tali yang kompleks, yang disebut kipu. Ada banyak sistem angka yang berbeda. Catatan angka pertama yang diketahui ditemukan di papirus Ahmes yang dibuat oleh orang Mesir di Kerajaan Tengah. Peradaban India mengembangkan sistem bilangan desimal modern yang menggabungkan konsep nol.

Secara historis, disiplin matematika dasar telah muncul di bawah pengaruh kebutuhan untuk melakukan perhitungan di bidang komersial, dalam pengukuran tanah dan untuk memprediksi fenomena astronomi dan, kemudian, untuk memecahkan masalah fisik baru. Masing-masing bidang ini memainkan peran besar dalam perkembangan matematika yang lebih luas, yang terdiri dari studi tentang struktur, ruang, dan perubahan.

Filsafat Matematika

Tujuan dan metode

Matematika mempelajari objek imajiner, ideal dan hubungan di antara mereka menggunakan bahasa formal. Secara umum, konsep dan teorema matematika tidak selalu sesuai dengan apa pun di dunia fisik. Tugas utama bagian terapan matematika adalah membuat model matematika yang cukup memadai untuk objek nyata yang diteliti. Tugas ahli matematika teoretis adalah menyediakan seperangkat sarana yang memadai untuk mencapai tujuan ini.

Isi matematika dapat diartikan sebagai sistem model matematika dan alat untuk penciptaannya. Model suatu objek tidak memperhitungkan semua fiturnya, tetapi hanya yang paling diperlukan untuk keperluan studi (diidealkan). Misalnya, ketika mempelajari sifat fisik jeruk, kita dapat mengabstraksi dari warna dan rasanya dan membayangkannya (meskipun tidak secara akurat) sebagai sebuah bola. Jika kita perlu memahami berapa banyak jeruk yang akan dihasilkan jika kita menjumlahkan dua dan tiga, maka kita dapat mengabstraksikan dari bentuknya, menyisakan model dengan hanya satu karakteristik - kuantitas. Abstraksi dan pembentukan koneksi antar objek dalam bentuk yang paling umum merupakan salah satu arahan utama kreativitas matematika.

Arah lain, bersama dengan abstraksi, adalah generalisasi. Misalnya, menggeneralisasi konsep "ruang" ke ruang berdimensi-n. " Ruang R n (\\ displaystyle \\ mathbb (R) ^ (n)), di n\u003e 3 (\\ displaystyle n\u003e 3) adalah penemuan matematika. Namun, penemuan yang sangat cerdik yang membantu memahami fenomena kompleks secara matematis».

Pengkajian objek intra-matematis biasanya dilakukan dengan metode aksiomatik: pertama, untuk objek yang diteliti dirumuskan daftar konsep dasar dan aksioma, kemudian dari aksioma-aksioma tersebut, dengan menggunakan aturan inferensi diperoleh teorema yang bermakna, yang bersama-sama membentuk model matematika.

Yayasan

Intuisionisme

Intuitionisme mengasumsikan pada dasar matematika sebuah logika intuitionistik, yang lebih terbatas dalam alat pembuktian (tetapi, seperti yang diyakini, lebih dapat diandalkan). Intuitionisme menolak bukti dengan kontradiksi, banyak bukti non-konstruktif menjadi tidak mungkin, dan banyak masalah teori himpunan menjadi tidak berarti (tidak diformalkan).

Matematika konstruktif

Matematika konstruktif adalah gerakan yang dekat dengan intuisi dalam matematika yang mempelajari konstruksi konstruktif [ menjelaskan]. Menurut kriteria konstruktif - " untuk eksis harus dibangun". Kriteria konstruktif merupakan persyaratan yang lebih kuat daripada kriteria konsistensi.

Topik utama

jumlah

Bagian utama yang membahas abstraksi kuantitas adalah aljabar. Konsep "bilangan" awalnya berasal dari representasi aritmatika dan mengacu pada bilangan asli. Kemudian, dengan bantuan aljabar, secara bertahap diperluas ke bilangan bulat, rasional, nyata, kompleks dan lainnya.

Transformasi

Fenomena transformasi dan perubahan dalam bentuk paling umum dipertimbangkan dengan analisis.

Struktur

Hubungan spasial

Dasar-dasar hubungan spasial dipertimbangkan oleh geometri. Trigonometri meneliti sifat-sifat fungsi trigonometri. Geometri diferensial berkaitan dengan studi objek geometris melalui analisis matematika. Sifat-sifat ruang yang tetap tidak berubah di bawah deformasi kontinu dan fenomena kontinuitas dipelajari oleh topologi.

Geometri	Trigonometri	Geometri diferensial	Topologi	Fraktal	Mengukur teori

Matematika Diskrit

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\\ displaystyle \\ forall x (P (x) \\ Panah Kanan P (x ")))